12. sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 12.1.3.2

12. Sınıf Matematik 1. Yazılı: Üstel ve Logaritmik Modelleme Soruları

Ses düzeyi, soğuma ve radyoaktif bozunma gibi gerçek hayat durumlarını üstel ve logaritmik fonksiyonlarla modelleme.

Resmî öğrenme çıktısı

Sayılar ve Cebir · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

12.1.3.2. Üstel ve logaritmik fonksiyonları gerçek hayat durumlarını modellemede kullanır.

1. soru

Ses düzeyi · 8 puan

Bir sesin desibel (dB) cinsinden düzeyi, I sesin şiddeti ve I₀ duyma eşiğindeki şiddet olmak üzere L = 10 · log(II₀) bağıntısıyla hesaplanır. log 2 ≈ 0,301 olarak alınız.

1.14 puan
Şiddeti I = 10⁶ · I₀ olan sesin düzeyini bulunuz. Düzeyi 80 dB olan bir sesin şiddetinin I₀’ın kaç katı olduğunu hesaplayınız.
1.24 puan
Düzeyi 60 dB olan bir cihazın yanına özdeş bir cihaz daha konulduğunda toplam şiddet 2 katına çıkıyor. Yeni ses düzeyini bulunuz. Düzeyin 2 katına çıkmadığını açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 4

Örnek çözüm

L = 10 · log 10⁶ = 60 dB’dir. 80 = 10 · log(II₀) ise log(II₀) = 8 ve I = 10⁸ · I₀ olur; şiddet I₀’ın 10⁸ katıdır.

Puanlama

60 dB sonucunu bulmak1 puan
80 dB için logaritmik eşitliği kurmak1 puan
10⁸ kat sonucunu bulmak2 puan

1.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Yeni düzey L = 10 · log(2 · 10⁶) = 10 · (log 2 + 6) ≈ 10 · 6,301 = 63,01 dB’dir. Logaritma, çarpımı toplama dönüştürdüğü için şiddetin 2 katına çıkması düzeye yalnızca yaklaşık 3 dB ekler; düzey 120 dB olmaz.

Puanlama

2 · 10⁶ şiddetini bağıntıya yazmak1 puan
63,01 dB sonucunu bulmak2 puan
Çarpımın toplama dönüştüğünü belirterek açıklamak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Soğuyan bir içecek · 8 puan

Bir sınıf etkinliğinde 20 °C’lik odada bırakılan bir içeceğin sıcaklığı, kurgusal olarak T(t) = 20 + 70 · e^−0,1t modeliyle veriliyor (t dakika, T derece). ln 2 ≈ 0,693 ve ln 5 ≈ 1,609 olarak alınız.

2.14 puan
İçeceğin başlangıç sıcaklığını ve sıcaklığının 55 °C’ye düşmesi için geçen süreyi bulunuz.
2.24 puan
Sıcaklığın 34 °C’ye düşmesi için geçen süreyi bulunuz. Bu modele göre sıcaklığın 20 °C’nin altına düşüp düşemeyeceğini açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 4

Örnek çözüm

T(0) = 20 + 70 = 90 °C’dir. 55 = 20 + 70 · e^−0,1t ise e^−0,1t = 12 olur. Her iki tarafın ln’i alınırsa −0,1t = −ln 2 ve t = 10 · ln 2 ≈ 6,93 dakika bulunur.

Puanlama

90 °C bulmak1 puan
e^−0,1t = 1/2 eşitliğini kurmak2 puan
6,93 dakika sonucunu bulmak1 puan

2.2 tam puan 4

Örnek çözüm

34 = 20 + 70 · e^−0,1t ise e^−0,1t = 15 ve t = 10 · ln 5 ≈ 16,09 dakikadır. e^−0,1t her zaman pozitif olduğundan T(t) > 20’dir; sıcaklık 20 °C’ye yaklaşır ama altına düşmez.

Puanlama

e^−0,1t = 1/5 eşitliğini kurmak1 puan
16,09 dakika sonucunu bulmak1 puan
Üstel terimin pozitifliğiyle açıklamak2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Radyoaktif bozunma · 8 puan

Sezyum-137’nin yarı ömrü yaklaşık 30 yıldır. Başlangıçta 80 g olan bir örnekte t yıl sonra kalan kütle m(t) = 80 · 2^−t/30 gram olarak modellenmiştir. log 2 ≈ 0,301 ve log 5 ≈ 0,699 olarak alınız.

3.13 puan
Örnekte 10 g madde kalması için geçen süreyi bulunuz.
3.25 puan
Örnekte 16 g madde kalması için geçen süreyi logaritma kullanarak yaklaşık olarak bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 3

Örnek çözüm

80 · 2^−t/30 = 10 ise 2^−t/30 = 18 = 2⁻³ olur. t/30 = 3 olduğundan t = 90 yıldır.

Puanlama

2^−t/30 = 2⁻³ eşitliğini kurmak2 puan
90 yıl sonucunu bulmak1 puan

3.2 tam puan 5

Örnek çözüm

80 · 2^−t/30 = 16 ise 2^t/30 = 5 olur. Buradan t30 = log₂ 5 = log 5log 2 ≈ 0,6990,301 ≈ 2,322 bulunur. t ≈ 30 · 2,322 ≈ 69,7 yıldır.

Puanlama

2^t/30 = 5 eşitliğini kurmak1 puan
Logaritma tanımıyla t/30 = log₂ 5 yazmak2 puan
Taban değiştirme ile 2,322 değerini hesaplamak1 puan
t ≈ 69,7 yıl sonucunu bulmak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; örnek kâğıtta bütün sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği örnek kâğıtlar

Kâğıdın tamamını çözüp kendini puanlamak için bir kâğıt seç.

Örnek Kâğıt 1: 1 soru Örnek Kâğıt 2: 1 soru Örnek Kâğıt 3: 1 soru Örnek Kâğıt 5: 1 soru Örnek Kâğıt 6: 1 soru Örnek Kâğıt 8: 1 soru

Diğer konular

Sorular resmî sınav sorusu değildir; Unikazan tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre örnek olarak hazırlandı. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alındı (kaynak).

Ücretsiz ön görüşme

30 dakikada sana özel yol haritası

1Formu doldurDört bilgi yeterli, bir dakika sürer.
2Seni arayalımGörüşme saatini sana uygun zamana koyalım.
3Yol haritanı çıkaralımNetlerini ve hedefini konuşur, haftalık planın ilk taslağını birlikte çizeriz.

Hemen konuşmak istersen 0432 606 02 26 veya WhatsApp