12. Sınıf Matematik 1. Yazılı Denklem ve Eşitsizlik Soruları

1. soru

İki üstel denklem · 8 puan

1.13 puan
4^{x + 1} = 8^{x − 1} denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1.25 puan
9^x − 4 · 3^x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 3

Örnek çözüm

2^{2x + 2} = 2^{3x − 3} olduğundan 2x + 2 = 3x − 3 ve x = 5’tir. Çözüm kümesi {5}’tir.

Puanlama

Tabanları 2 cinsinden eşitlemek2 puan
x = 5 bulmak1 puan

1.2 tam puan 5

Örnek çözüm

3^x = t (t > 0) denirse t² − 4t + 3 = 0 olur; (t − 1)(t − 3) = 0’dan t = 1 ya da t = 3 bulunur. 3^x = 1 için x = 0, 3^x = 3 için x = 1’dir. Çözüm kümesi {0, 1}’dir.

Puanlama

Değişken değiştirerek ikinci derece denklem kurmak2 puan
t = 1 ve t = 3 bulmak1 puan
x = 0 ve x = 1 bulmak2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Tanım kümesi gözetilen denklemler · 9 puan

2.16 puan
log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2.23 puan
ln(2x − 1) = ln(x + 3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 6

Örnek çözüm

Tanımlılık için x > 3 olmalıdır. log₂[(x + 3)(x − 3)] = 4 eşitliğinden x² − 9 = 16, yani x² = 25 bulunur. x = 5 ya da x = −5 olur; x = −5 koşulu sağlamaz. Çözüm kümesi {5}’tir.

Puanlama

x > 3 koşulunu yazmak1 puan
Çarpım özelliğiyle birleştirmek1 puan
x = 5 ya da x = −5 değerlerini bulmak2 puan
x = −5’i eleyerek çözüm kümesini yazmak2 puan

2.2 tam puan 3

Örnek çözüm

ln fonksiyonu bire bir olduğundan 2x − 1 = x + 3 ve x = 4’tür. x = 4 için 2x − 1 = 7 ve x + 3 = 7 pozitiftir. Çözüm kümesi {4}’tür.

Puanlama

Logaritması alınan ifadeleri eşitlemek1 puan
x = 4 bulmak1 puan
Tanımlılığı denetlemek1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Üstel eşitsizlikler · 8 puan

3.14 puan
(13)^{x − 2} > 27 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3.24 puan
2^{x² − x} ≤ 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 4

Örnek çözüm

Eşitsizlik 3^{2 − x} > 3³ biçiminde yazılır. Taban 3, 1’den büyük olduğu için yön korunur: 2 − x > 3, yani x < −1. Çözüm kümesi (−∞, −1)’dir.

Puanlama

İki tarafı aynı tabanda yazmak2 puan
Yönü tabana göre belirlemek1 puan
x < −1 bulmak1 puan

3.2 tam puan 4

Örnek çözüm

2^{x² − x} ≤ 2² olduğundan x² − x − 2 ≤ 0 olur. (x − 2)(x + 1) ≤ 0 eşitsizliğinden −1 ≤ x ≤ 2 bulunur. Çözüm kümesi [−1, 2]’dir.

Puanlama

x² − x ≤ 2 yazmak2 puan
Çarpanlara ayırmak1 puan
[−1, 2] aralığını yazmak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

4. soru

Logaritmik eşitsizlikler · 8 puan

4.13 puan
log₂(x − 1) ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
4.25 puan
log_1/3(x − 2) > −2 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların kaç tane olduğunu bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

4.1 tam puan 3

Örnek çözüm

Tanımlılık için x > 1 olmalıdır. Taban 1’den büyük olduğu için x − 1 ≤ 2³ = 8, yani x ≤ 9’dur. Çözüm kümesi (1, 9]’dur.

Puanlama

x > 1 koşulunu yazmak1 puan
x ≤ 9 bulmak1 puan
Koşulları birleştirip (1, 9] yazmak1 puan

4.2 tam puan 5

Örnek çözüm

Tanımlılık için x > 2 olmalıdır. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan yön değişir: x − 2 < (13)⁻² = 9, yani x < 11’dir. 2 < x < 11 aralığındaki tam sayılar 3, 4, …, 10 olup 8 tanedir.

Puanlama

x > 2 koşulunu yazmak1 puan
Tabana göre yönü değiştirmek2 puan
x < 11 bulmak1 puan
8 tam sayı sonucunu yazmak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

5. soru

Değişken değiştirmeyle çözülen denklemler · 8 puan

5.15 puan
(log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
5.23 puan
e^2x − 3e^x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

5.1 tam puan 5

Örnek çözüm

Tanımlılık için x > 0’dır. log₂ x = t denirse t² − 3t + 2 = 0 olur; t = 1 ya da t = 2’dir. log₂ x = 1 için x = 2, log₂ x = 2 için x = 4’tür. Çözüm kümesi {2, 4}’tür.

Puanlama

Değişken değiştirip denklemi kurmak2 puan
t = 1 ve t = 2 bulmak1 puan
x = 2 ve x = 4 bulmak2 puan

5.2 tam puan 3

Örnek çözüm

e^x = t (t > 0) denirse t² − 3t + 2 = 0 olur; t = 1 ya da t = 2’dir. e^x = 1 için x = 0, e^x = 2 için x = ln 2’dir. Çözüm kümesi {0, ln 2}’dir.

Puanlama

t = 1 ve t = 2 bulmak1 puan
x = 0 bulmak1 puan
x = ln 2 bulmak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Bu konunun geçtiği örnek kâğıtlar

Diğer konular

30 dakikada sana özel yol haritası